Question

对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调

递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把

()叫闭函数。

（1）求闭函数符合条件②的区间[]；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）若函数是闭函数，求实数的取值范围。

Answer

（1）[-1，1]

（2）该函数不是闭函数

（3）

【解析】（1）由题意，在[]上递减，则解得

所以，所求的区间为[-1，1]        

（2）取则，即不是上的减函数。

取，

即不是上的增函数，

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，

即方程有两个不等的实根。

当时，有，解得。当时，有，无解。                 综上所述，。