Question

(文)已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c图像上的点P(1，－2)处的切线方程为y＝－3x＋1.

(1)若函数f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；

(2)函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，求实数b的取值范围.

Answer

f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.

【解析】[4＋∞).

(文)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b， 2分

因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3， 1分                

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 2分

(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0 3分

解得a＝－2，b＝4，c＝－3 5分

所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3. 6分

(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零， 8分

则，得b≥4， 10分

所以实数b的取值范围为[4＋∞). 12分