Question

（本小题满分10分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切.

  （1）求圆C的方程；

  （2）设直线：与圆C相交于A、B两点，求实数的取值范围；

  （3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，              若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 

Answer

（1）

（2）实数的取值范围是．

（3）不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．

【解析】（1）解略  4分；

   （2）把直线即代入圆的方程，消去整理，得

．由于直线交圆于两点，

故．即，由于，解得．

所以实数的取值范围是．………………………………………7分

注：其余解法，酌情给分。

（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，

的方程为， 即．

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以，解得．

由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．…………10分