Question

（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

   （1）求证：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置。

    

Answer

（1）AB1//面BDC1

（2）二面角C1—BD—C的余弦值：

（3）AA1=2，点P位置是在线段AB1上且

【解析】

（2）平面ABC，BCAC，AA1//CC­1，面ABC，

    则BC平面AC1，CC1AC

    如图建系，则

    设平面C1DB的法向量为     则

    又平面BDC的法向量为

    二面角C1—BD—C的余弦值：  8分

   （3）设，

又面BDC1，

    解得

    所以AA1=2，点P位置是在线段AB1上且 12分