Question

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知长方体，，点M是棱的中点．

（1）试用反证法证明直线是异面直线；

（2）求直线所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer

略

【解析】证明  (1)(反证法)假设直线与不是异面直线. ……………………………1分

设直线与都在平面上，则.………………………3分

因此，有不共线的三个公共点，即

重合).又长方体的相邻两个面不重合，这是矛盾，于是，假设不成立. …………………………………………………………6分

所以直线与是异面直线.    …………………7分

解  (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0，0，0)、

A(4，0，0)、B(4，2，0)，C(0，2，0)，(4，0，4)，(4，2，4)，(0，2，4)，

(0，0，4)．于是，M(0，1，4)，…9分

设平面的法向量为，则

，即．取．   …   11分

所以平面的一个法向量为．

记直线为，于是，

，．  ………………………13分

所以，直线为＝．…………………14分