Question

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）

已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足.

（1） 求数列的通项公式；

（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；

（3） 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由.

Answer

（1）（2）

【解析】(1) 由… (1) ， 得… (2)，由 (2)-(1) 得

,  整理得 ，.

所以，数列，，，…，，…是以4为公比的等比数列.

其中,,

     所以，. 

（2）由题意，.

当时，

所以，.

（3）由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有 ，

当时，，，向量不符合条件；

当时，由

，

而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.

解法二：同解法一，由假设可得，

当时，

由 …①，

不妨设，①即为

故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.