Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．

已知的顶点在椭圆上，在直线上，

且．

（1）求边中点的轨迹方程；

（2）当边通过坐标原点时，求的面积；

（3）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

Answer

（1）（2）

（3）

【解析】（1）设所在直线的方程为

由得．                 （2分）

因为在椭圆上，所以．

设两点坐标分别为，中点为

则， ，

所以中点轨迹方程为           （4分）

（2），且边通过点，故所在直线的方程为．

此时，由（1）可得，所以   （6分）

又因为边上的高等于原点到直线的距离，所以       （8分）

．                                       （10分）

（3）由（1）得，，

所以．                          （12分）

又因为的长等于点到直线的距离，即．  （14分）

所以．

所以当时，边最长，（这时）

此时所在直线的方程为．                          （16分）