Question

（本小题满分14分）

       在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°,，。

       （I）求证：平面；

       （II）求证：平面；

       （III）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°。

Answer

（I）证明见解析。

（II）证明见解析。

（III）

【解析】（I）取PD的中点F，连结EF，AF，

因为E为PC中点，所以EF//CD，且

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，

所以BE//AF，         ……………………………………………………2分

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD。        ………………………………………………4分

（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD。     …………………………………………………………3分

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz。

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.

                          ……………………………………6分

所以…………8分

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD。………………………9分

（III）平面PBD的法向量为

……10分

所以，……………………11分

设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），

，

由n，n，得  所以，

所以n=  ……………………12分

所以 ………………13分

注意到，得。                ………………14分