Question

（本小题满分14分）

    椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为。

    （I）求椭圆的方程；

    （II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若

为直角三角形，求直线的斜率。

Answer

（I）

（II）和

【解析】（I）由已知            ………………3分

又，解得

所以椭圆C的方程为。  ………………………………5分

（II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设。

联立，，消去y得，…………6分

，

令，解得。    ………………………………………………7分

设E、F两点的坐标分别为，

   （i）当∠EOF为直角时，

则，…………………………8分

因为∠EOF为直角，所以，即，………………9分

所以，

所以，解得 ………………11分

   （ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，

此时，，所以，即……①…………12分

又…………②

将①代入②，消去x1得

解得或（舍去），……………………13分

将代入①，得  所以，………………14分

经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和。