Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

   （1）求证：BD⊥FG；

   （2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

   （3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer

G为EC中点，

【解析】证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

       其对角线BD，AC交于点E，

       ∴PA⊥BD，AC⊥B  D．

       ∴BD⊥平面APC，

       平面PAC，

∴BD⊥FG                                                                              …………3分

   （II）当G为EC中点，即时，

       FG//平面PBD，       …………4分

       理由如下：

       连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

       而FG平面PBD，PB平面PBD，

       故FG//平面PB         D．                          …………7分

   （III）作BH⊥PC于H，连结DH，

       ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

       ∴PB=PD，

       又∵BC=DC，PC=PC，

       ∴△PCB≌△PCD，

       ∴DH⊥PC，且DH=BH，

       ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，                           …………9分

       即

       ∵PA⊥面ABCD，

       ∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角                                ………10分

       连结EH，则

       ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是                              …………12分