Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）求直线的方程以及点M的坐标；

   （3） 是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

，，

【解析】解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得

       解得，故椭圆C的方程为．……………………4分

   （Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为

       由                                得．①

       因为直线与椭圆相切，所以

       整理，得                          解得

       所以直线l方程为

       将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分

   （Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

       因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为

       所以

       所以．

       又，

       因为即，

       所以．

       即

       所以，解得  因为A，B为不同的两点，所以．

       于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………12分