Question

（本小题满分14分）

        已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.

   （1）求椭圆的方程；

   （2）若线段AB中点的横坐标是求直线l的斜率；

   （3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）∵椭圆长轴长为

又∵椭圆过点，代入椭圆方程得

∴椭圆方程为

即                                                                      …………3分

   （2）∵直线且斜率为k，

设直线方程为

由

设∵线段AB中点的横坐标是

则

即                              …………7分

   （3）假设在x轴上存在点，

使是与k无关的常数，

由

设

则                                  …………9分

是与k无关的常数，设常数为t，

则                                         …………12分

整理得对任意的k恒成立

，解得

即在x轴上存在点，

使是与k无关的常数.                                …………14分