Question

（本题满分12分）

如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。

   （1）若|AB|=8，求抛物线的方程；

   （2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；

   （3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

Answer

（1）

（2）

（3）证明见解析。

【解析】

【解析】
设

   （1）由条件知直线

由消去y，得                              …………1分

由题意，判别式（不写，不扣分）

由韦达定理，

由抛物线的定义，

从而所求抛物的方程为                           …………3分

   （2）设。由（1）易求得

则                                                     …………4分

点C到直线的距离

将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，

得

而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知

因此                                                              …………6分

由（1），|AB|=4p。

由

知当      …………8分

   （3）由（2），易得

设。

将代入直线PA的方程

得

同理直线PB的方程为

将代入直线PA，PB的方程得

                                             …………10分

                                                          …………12分