Question

（本题满分14分）

抛物线D以双曲线的焦点为焦点．

   （1）求抛物线D的标准方程；

   （2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；

   （3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

Answer

（1）

（2）（1，1）

（3）证明见解析。

【解析】（1）由题意，

所以，抛物线D的标准方程为                                          …………3分

   （2）设

由

抛物线D在点A处的切线方程为…………4分

而A点处的切线过点

即

同理，

可见，点A，B在直线上．

令

所以，直线AB过定点Q（1，1）                                                                …………6分

   （3）设

直线PQ的方程为

由

得

由韦达定理，                      …………9分

而

                                                                      …………12分

将代入方程（*）的左边，得

（*）的左边

=0．

因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．                                                     …………14分