Question

（本小题满分14分）

       已知：有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2 ）,a₁=2 ,设该数列的前n项和为 S_n且满足S_n+1=aS_n+2（n=1,2,…,2k-1）,a＞1．

   （1）求{a_n}的通项公式;

   （2）设b_n=log₂a_n ，求{b_n}的前n项和T_n;

   （3）设c_n=，若a=2，求满足不等式 + +…++≥时k的最小值．

Answer

（1）an=2·an-1（n=1,2…，2k）；（2）Tn=n+（a＞1,n=1,2，…，2k）（3）k≥6或k≤

【解析】（1）由Sn+1=aSn+2（n=1,2，…，2k-1）        （1）

       Sn=aSn-1+2（n=2,3,…，k）  （2）……………………………2分

   （1）-（2）得an+1=a·an（n=2,3，…，2k-1）

       由（1）式S2=aS1+2，a1+a2=aS1+2……………………………………………………3分

       解得a2=2a，因为

       所以{an}是以2为首项，a为公比的等比数列，an=2·an-1（n=1,2…，2k）…………4分

   （2）∵bn-bn-1=log2an-log2an-1=log2an-1log2=log2a     （n=2,3…，2k）

       ∴{bn}是以b1=1为首项，以log2a（a＞1）为公差的等差数列………………………6分

       ∴Tn===n+（a＞1,n=1,2，…，2k）……………8分

   （3）cn==1+=1+（n=1，2，…，2k）……………………………10分

       当cn≤时， n≤k+，n为正整数,知n≤k时，cn<

       当n≥k+1时，cn＞……………………………………………………………………11分

       =（-c1）+（-c2）+…+（-ck）+（ck+1-）+…+（c2k-）

       =（ck+1+ck+2+…+c2k）-（c1+c2+…+ck）

       ={［k+（k+1）+…+（2k-1）］+2k}-{［1+2+…+（k-1）］+k}

       =［-］

       =≥

       即11k2-72k+36≥0,（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤

       所以满足条件的k的最小值为6…………………………14分