已知
，若
对任意实数a,b,c恒成立，求实数
的取值范围。
已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是：
，求直线与曲线C相交所称的弦的弦长。
设矩阵
,求矩阵A的特征向量及A2
设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
(I)证明：对任意的
∈(O，1)，
，若f(
)≥f(
)，则(0，)为含峰区间：若f()
f()，则
为含峰区间：
(II)对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在∈(0，1)，满足
，使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r：
(III)选取∈(O，1)，，由(I)可确定含峰区间为
或
，在所得的含峰区间内选取
，由与或与类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值
，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0. 34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
已知数列
满足：
(1)若
，求数列的前30项和
的值；
(2)求证：对任意的实数a，总存在正整数m,使得当n>m（
）时, 
成立。
某产品按质最分成6种不同档次。假设工时不变，每天可生产最低档次40件。若每提高一个档次，每件利润增加1元，但是每天要少生产2件产品。
(1)若最低档次产品利润每件为16元时，问生产哪种档次产品每天所获利润最大？
(2)由于原材料价格的浮动，生产最低档次产品每什利润a
[8，24]元，那么生产哪种档次产品利润最大？
