Question

（本题满分12分）

已知动圆过点，且与圆相内切．

   （1）求动圆的圆心的轨迹方程；

   （2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）圆， 圆心的坐标为，半径．

∵，∴点在圆内．        

设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，

即．                                             

∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为

,  则．∴．

∴所求动圆的圆心的轨迹方程为．…………………………………4分

 （2）由 消去化简整理得：

设，，则……………………………………6分

△． ①

由 消去化简整理得：．

设，则,

△． ② ……………………………………8分

∵，∴，即，

∴．∴或．

解得或……… 10分                                                                  

当时,由①、②得  ，

∵Z,，∴的值为 ，，;

当，由①、②得  ，

∵Z,，∴．

∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………12分

【解析】略