Question

（本小题满分12分）如图，在三棱锥P－ABC中，，，点 分别是AC、PC的中点，底面ABC．

   （1）求证：平面；

   （2）当时，求直线与平面所成的角的大小；

   （3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

 

Answer

【解析】
方法一：

   （Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC中点，

， ………………………………（2分）

   （Ⅱ）

，

………．．（5分）

又，

PA与平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC内的射影

∵D是PC的中点，

若点F是的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

，即…………………．．（10分）

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………．．（12分）

方法二：

，，

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）

设则，

设，则

   （Ⅰ）D为PC的中点，

，

又  ，

   （Ⅱ），即，

可求得平面PBC的法向量，

，

设PA与平面PBC所成的角为，则

，

   （Ⅲ）的重心，

，

，

又，

，即，

反之，当时，三棱锥为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为的重心

【解析】略