Question

已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ)  在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P

的直线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且

PQ与C在点P处的切线垂直?

若存在, 求出点P的坐标; 若不存在,请说明理由.

Answer

x2 = 4y ,满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4)

【解析】

(Ⅰ)  解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,

则,        即a = 4 .

故所求抛物线C的方程为x2 = 4y .             …………………(5分)

(Ⅱ) 解:设P(x1, y1), Q(x2, y2) ,

则抛物线C在点P处的切线方程是： ,

直线PQ的方程是：  .

将上式代入抛物线C的方程, 得：,

故 x1+x2=, x1x2=－8－4y1,

所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

而＝(x1, y1－1), ＝(x2, y2－1),

×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1

＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1

＝－2y1 －－7＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)

＝(y1＋1)2－＝＝0,

故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .  经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)