Question

数列满足，（），是常数．

(1)当时，求及的值；

(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(3)求的取值范围，使得存在正整数，当时总有。

Answer

，，

不可能为等差数列，

【解析】

解: (1)由于，且．

所以当时，得，故．                     ………2分

从而．                              ………4分

(2)数列不可能为等差数列，证明如下：由，

得，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．                                                ………6分

于是，．这与为

等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．     ………8分

(3)记，根据题意可知，且，即

且，这时总存在，满足：

当时，；当时，．                   ……9分

所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．               ………10分

因此“存在，当时总有”的充分必要条件是： 为偶数，

记，则满足．  ………12分

故的取值范围是．              ………13分