Question

（本小题满分14分）

如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且

   （I）证明：平面AMN；

   （II）求三棱锥N的体积；

   （III）在线段PD上是否存在一点E，使得平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由。

Answer

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以AB=BC

又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，    ………………1分

又M为BC中点，所以BC⊥AM   ………………2分

而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC  ………………4分

又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN    ………………5分

   （II）因为   ………………6分

又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1

所以，三棱锥N—AMC的体积   ………………8分

   ………………9分

   （III）存在  ………………10分

取PD中点E，连结NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD中点，所以 ………………11分

又在菱形ABCD中，  

所以NE，即MCEN是平行四边形   ………………12分

所以，NM//EC，

又EC平面ACE，NM平面ACE

所以MN//平面ACE，  ………………13分

即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，

此时

【解析】略