Question

如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，

（Ⅰ）证明：;

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

连结SE，则 又SD=1，故，

所以为直角。  …………3分

由，

得平面SDE，所以。  SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以平面SAB。              …………6分

（II）由平面SDE知， 平面平面SED。

作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。  连结SG，则，

又，

故平面SFG，平面SBC平面SFG。   …………9分

作，H为垂足，则平面SBC。

，即F到平面SBC的距离为

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有

设AB与平面SBC所成的角为α，   则-----------------12分

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设

（I），，

由得

故x=1。

由

又由

即        …………3分

于是，

所以平面SAB。           …………6分

（II）设平面SBC的法向量，

则

又

故            …………9分

取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角正弦为----------12分

【解析】略