Question

（本小题满分12分）

        已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点。

   （1）求证：AF⊥CD；

   （2）求直线AC与平面CBE所成角的大小。

Answer

略

【解析】解法一：（1）取CD的中点G，连接AG、GF，

则GF//DE

∵AC=AD，∴AG⊥GD…………2分

∵DE⊥平面ACD  ∴DE⊥CD

∴GF⊥CD  …………4分

∴CD⊥平面AGF

∵AF平面AGF  ∴AF⊥CD …………6分

   （2）如图建立空间直角坐标系G—xyz,

∴直线AC与平面CBE所成角的大小为 …………12分

解法二：（1）同解法一

   （2）∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD  ∴AB//DE

延长DA、EB交于点P，连结PC   ………………7分

∵AB=1，DE=2  ∴A为PD的中点，

又G为CD的中点

∴PC//AG 

∴PC⊥CD，PC⊥DE 

∴PC⊥平面CDE  …………9分

∵点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，

即   ………………11分

设直线AC与平面CBE所成角为

则   ………………12分