Question

（本小题满分10分）

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，

边长为，PD=，PD⊥平面ABCD

（1）求证: AC⊥PB ；

（2）求二面角A－PB－D的大小；

（3）求四棱锥外接球的半径．

（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

Answer

(1)证明

(2) A－PB－D的大小为60

(3)        

(4)球的最大半径为 

【解析】(1)证明：连结BD，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC

 ∵PD∩BD=D   ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB  ∴AC⊥PB      ……………(4分)

(2)【解析】
设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB

∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB

∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，在Rt△PAB中，

∵∴，

在Rt△AOE中，，∴∠AEO=60°

∴二面角A－PB－D的大小为60. ……………(8分)

(3)【解析】
【解析】
设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD

在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD    ∴F为四棱锥外接球的球心

则FP为外接球的半径    ∵FP=    ∴

      ∴四棱锥外接球的半径为                  ……………(12分)

(4) 设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R

    ∵

    ∴   ∴

    ∴球的最大半径为