Question

（12分）

如图,在直三棱柱中,,为中点.

（１）求证:;

（２）求证: ∥平面 ;

（３）求二面角的余弦值.

Answer

【解析】
解法一:

(Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)设与交于点则为中点.

在中, 连结分别为的中点,

∥,又平面,平面,

∥平面.                                      ………………8分

(Ⅲ)过作于,连结.

由底面可得.

故为二面角的平面角.

在中,,

在中,        

二面角的余弦值为 .  ……………………………………12分

解法二 直三棱柱,底面三边长,

两两垂直.

如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则.

 (Ⅰ),

.              ……………….4分

(Ⅱ)同解法一 …………………………………………..………..8分

(Ⅲ)平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,

,,

由

令,则.

则.

故＜＞=.

故二面角的余弦值为.  ……………………………….12分

【解析】略