Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.

（1）判断函数是否是有界函数，请写出详细判断过程；

（2）试证明：设，若在上分别以为上界，

求证：函数在上以为上界；

（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，

求实数的取值范围.

Answer

【解析】
（1），当时，

则，由有界函数定义可知是有界函数

(2)由题意知对任意，存在常数，都有成立

即…………………………………

同理（常数）

则…………………

即

在上以为上界…

(3)由题意知，在上恒成立。

，    

……………………………………  

∴   在上恒成立

∴    …………………

设，，，由得 t≥1，

设，

所以在上递减，在上递增，……………………

（单调性不证，不扣分）

在上的最大值为，

 在上的最小值为……………………………………

所以实数的取值范围为…

【解析】略