Question

已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得

f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立。

（1）函数f（x）＝是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f（x）＝lg，求实数a的取值范围；

（3）证明：函数f（x）＝2＋xM。

Answer

【解析】
（Ⅰ）f（x）＝的定义域为，

令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，

因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；    3分

（Ⅱ）f（x）＝lg的定义域为Ｒ，f（1）＝lg，a>0，

若f（x）＝ lgM，则存在xＲ使得lg＝lg＋lg，

整理得存在xＲ使得（a－2a）x＋2ax＋（2a－2a）＝0.

（1）若a－2a＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件：

（2）若a－2a0即a时，令△≥0，解得a，综上，a[3－，3＋]；    7分

（Ⅲ）f（x）＝2＋x的定义域为Ｒ，

令２＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），整理得2＋2x－2＝0，

令g（x）＝2＋2x－2，所以g（0）·g（1）＝－2<0，

即存在x（0，1）使得g（x）＝2＋2x－2＝0，

亦即存在xＲ使得2＋（x＋1）＝（2＋x）＋（2＋1），故f（x）＝2＋xM。 10分

【解析】略