Question

函数的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数，在定义域中存在使，，且满足以下3个条件。

（1）是定义域中的数，，则

（2），（是一个正的常数）

（3）当时，。

证明：（1）是奇函数；

（2）是周期函数，并求出其周期；

（3）在内为减函数。

Answer

证：（1）对定义域中的，由题设知在定义域中存在

使，，

则

∴为奇函数

（2）因，∴，于是

若，则

若，则

仍有。

∴为周期函数，是它的一个周期。

（3）先证在内为减函数，事实上，设，

则，则

（当时，）。

所以

当时，

，于是

即在内，也是减函数，从而命题得证。

【解析】略