Question

椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点.  （Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

Answer

【解析】
（1）抛物线的焦点为,准线方程为,……………2分

  ∴       ①        …………………3分

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为,  ∴  得上交点为,

∴     ②…………………4分

由①代入②得,解得或（舍去）,

从而   

∴   该椭圆的方程为该椭圆的方程为      …………………6分

（2）∵ 倾斜角为的直线过点,

∴ 直线的方程为,即,…………………7分

由（1）知椭圆的另一个焦点为,设与关于直线对称,………8分

则得   ……10分  解得,即   

又满足,故点在抛物线上。   …………………11分

所以抛物线上存在一点,使得与关于直线对称。……12分

【解析】略