Question

如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB＝2,∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB,求PB与AC所成角的余弦值；

(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.

Answer

(1)证明：因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.

(2)设AC∩BD＝O.

因为∠BAD＝60°,PA＝AB＝2,所以BO＝1,AO＝CO＝.

如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz,则P(0,－,2),A(0,－,0),B(1,0,0),C(0, ,0).

所以＝(1, ,－2), ＝(0,2,0).

设PB与AC所成角为θ,

则cosθ＝＝.

(3)由(2)知＝(－1, ,0). 设P(0,－,t)(t＞0),

则＝(－1,－,t).

设平面PBC的法向量m＝(x,y,z),则·m＝0, ·m＝0.

所以令y＝,则x＝3,z＝,所以m＝.

【解析】略