Question

如图，四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点.

（Ⅰ）当∥平面时，确定点在棱上的位置；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）在梯形中，由，，得，

∴．又，故为等腰直角三角形.

∴.

连接，交于点，则 

∥平面,又平面,∴.

在中，，

即时，∥平面.             6分

（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           

在中，设，则，

，，

，

由，可知：∽，∴，

代入解得：．

在中，，∴，

．

∴二面角的余弦值为．               12分

方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．          

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，解得

∴．

∴二面角的余弦值为．              12分

【解析】略