Question

已知函数  ．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，问： 在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（Ι）由知：

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分

（Ⅱ）由得

∴，.             ………………………5分

∴,

∵ 函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………6分

又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴                                          …………7分

由，∵在上单调递减，

所以；∴，由，解得；

综上得： 所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值 。                                                …………8分

（Ⅲ）令，则

.

1.  当时，由得，从而,

所以，在上不存在使得；…………………10分

2.  当时，,

在上恒成立，故在上单调递增。

故只要，解得     

 综上所述，的取值范围是…………………12分

【解析】略