Question

已知抛物线C：过点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OM(O为坐标原点)的直线，使得直线与抛物线C有公共点，且直线OM与的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.

故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，

因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

由直线OM与l的距离d＝可得＝，解得t＝±2.

因为－2∉[－，＋∞)，2∈[－，＋∞)，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－2＝0.

【解析】略