Question

（（本题14分）如图4，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D。

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程；

(Ⅱ)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为；

(Ⅲ)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，

∴可解得，∴，

∴椭圆的标准方程为；；                       …2分

∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

∴该双曲线的标准方程为                       …4分

（Ⅱ）设点P（），则，

∴，                           …6分

又点P在双曲线上，∴有，即，

∴。                                    …8分

（Ⅲ）假设存在常数λ，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，

∴设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组消y得：，…10分

设，B（），                                          

则由韦达定理得：，

∴，同理可得

，…12分

又∵，

∴有－，

∴存在常数，使得＝恒成立。        …14分

【解析】略