Question

已知函数

(1) 求曲线在点A（0，)处的切线方程；

(2) 讨论函数的单调性；

(3) 是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数a;若不存在，请说明理由.

Answer

（1）∵ a＞0，，

∴

=，                …………… 2分

于是，，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay + 1 = 0．                    … 4分

（2）∵ a＞0，eax＞0，∴ 只需讨论的符号．            ………… 5分

ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得，．

当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

f '（x）

+

0

－

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴ f（x）在，为增函数，

f（x）在为减函数．

（3）当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，所以当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．当a∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数a不存在．

【解析】略