Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. 

（1）求异面直线PA与DE所成角的大小；

（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

Answer

解:（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

                             …………2分

设异面直线与所成角为,则

所以异面直线与所成角为                  ………………4分

（2）点,

设 是平面BDE的一个法向量，

则由 

又是平面DEC的一个法向量.             ………………6分

设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值为                       ………………8分

（3）∵

∴                  ……………9分

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由                  ………………11分

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF          ………………12分

用几何法证明酌情给分

【解析】略