Question

（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁

均为正方形，∠BAC=90°,点D是棱B₁C₁的中点．

（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；

（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；

（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱． ………………1分

因为平面，所以， ………………2分

又因为，为中点，所以．             ……………3分

因为,所以平面．      ……………4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，            ………………6分

因为平面，平面，

所以平面．      ………………8分

（Ⅲ）【解析】
因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．

设，则．

，                             ………………9分

设平面的法向量为，则有

，， ，

取，得．                            ……………10分

又因为平面，所以平面的法向量为，………11分

，                    因为二面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为．              ……………12分

【解析】略