Question

已知函数函数是区间上的减函数. ①当曲线在点的切线与轴、轴围成的三角形面积为，求的最大值；

②若时恒成立，求t的取值范围；

③试判定函数在区间内的零点个数，并作出证明．

Answer

①因为，切线的斜率为切点

故切线的方程为即，…1分

令得,又令得

所以          ……………2分

从而

∵当时，,当时,,

所以的最大值为                 ……………4分

②由①知：，

上单调递减，

即在[-1，1]上恒成立，    ……………6分

要使时恒成立

因

（其中）恒成立，

令，

则恒成立，

                                             ……………9分

③函数连续，且

当时,为减函数,

当时, 为增函数,

根据函数极值判别方法，为极小值，而且

对都有

故当整数时，……………11分

所以当整数时， ，

函数在 上为连续减函数.

由所给定理知，存在唯一的

而当整数时，

 ………13分

类似地，当整数时，函数在 上为连续增函数且与异号，由所给定理知，存在唯一的故当时，方程在内有两个实根       ………15分

【解析】略