Question

（14分）如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，棱长为，E为棱CC₁上的动点.

⑴求证：A₁E⊥BD；

⑵当E恰为棱CC₁的中点时，求二面角A₁—BD—E的大小；

⑶在⑵的条件下，求 。

Answer

证明：⑴连AC、A1C1，

∵正方体AC1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.

∵正方体ABCD，AC⊥BD且ACAA1=A，

∴BD⊥平面ACC1，A1且ECC1，

所以A1E平面ACC1A1，∴BD⊥A1E.          …………………………………………  5分

⑵设ACBD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO.

由⑴得BD⊥平面AACC1，

∴BD⊥A1O，BD⊥EO，∴∠A1OE即为二面角A1—BD—E的平面角.

∵AB=，E为CC1中点，∴A1O=，

∴A1O2+OE2=A1E2，∴A1O⊥OE，

∴∠A1OE=90°                               …………………………………………  5分

⑶由⑵得A1O⊥平面BDE，

∴A1O=，∴V=.       ………………………………  4分

22、（1

【解析】略