Question

、（14分）如图，椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在轴上，离心率，

⑴求椭圆E的方程；

⑵求∠F₁AF₂的角平分线所在的直线的方程；

⑶在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

Answer

⑴设椭圆E的方程为，由.

∴椭圆方程为.

将A代入上式，得，解得=2，

∴椭圆E的方程为               ………………………………  4分

⑵法一：由⑴知F1，F2，所以直线AF1的方程为.直线AF2的方程为=2.

由点A在椭圆E上的位置知，直线的斜率为正数.设P为上任一点，则.

若，得.（因其斜率为负，舍去）于是，由，得，所以直线的方程为      ……………………………………  9分

⑶假设存在B，C两点关于直线，∴.

设直线BC的方程为，将其代入椭圆方程，得一元二次方程.

，即，则1与2是该方程的两个根.

由韦达定理，得1+2=，于是，

∴BC的中点坐标为.

又线段BC的中点在直线上，

∴，即BC的中点坐标为，与点A重合，矛盾.

所以5：不存在满足题设条件的相异两点.  ……………………………………  14分

【解析】略