Question

（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I） 证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

Answer

（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD

所以PQ⊥平面DCQ.   ………………6分

（II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积

由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，

所以棱锥P—DCQ的体积为

故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分

【解析】略