Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

,

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当的长为何值时，二面角的大小为60°？

Answer

（1）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，

可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，

所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。……3分

(2) 由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC，得 DC⊥平面BEFC，

所以DC⊥EF,又  EF⊥EC,DC与EC交于点C

所以EF⊥平面DCE …………6分；

（3）【解析】
过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得 AB⊥平面BEFC，

从而 AH⊥EF，

所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。    

在Rt△EFG中，因为EG=AD=

又因为CE⊥EF，所以CF=4，

从而BE=CG=3。于是BH=BE·sin∠BEH=

 因为AB=BH·tan∠AHB,所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°

【解析】略