Question

已知动点P与双曲线x²－y²＝1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．

Answer

(1)∵x2－y2＝1，∴c＝.   PF1|＋|PF2|＝a=   b=1

∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.

(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，     将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0  (*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足

Q(－)   ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，

∴klkAB＝－1 ，解得m＝ …③    又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，

即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0  ④  ，将③代入④得

12[1＋3k2－()2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，

∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).

【解析】略