Question

（本小题满分12分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）求证：（）．

Answer

（1）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由

得：，或（舍去）．        

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．（2）

设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，

19.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,

故交点轨迹E的方程为

（2）设，则由知，.

将代入得，

即，

若与椭圆相切,则，即;

同理若与椭圆相切,则.

由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:

[1]直线与都与椭圆相切,即,且,消去得，即，

从而，即;

[2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;

[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;

[4] 直线过点,而直线过点,此时

综上所述,h的值为

【解析】略