Question

已知点为圆周的动点，过点作轴，垂足为，设线段的中点为，记点的轨迹方程为，点

(1)求动点的轨迹方程;

(2)若斜率为的另一个交点为，求面积的最大值及此时直线的方程；

(3)是否存在方向向量的直线交与两个不同的点，且有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer

(1)设，则，而点在圆上

所以，即

(2)

而，故当时，面积的最大值为1

此时，直线的方程为：

(3)假设存在符合题设条件的直线，设其方程为：

，的中点

于是

………………………………………1

而

故  从而

    而

故

可得：……………………………………2

由1和2得：

故

【解析】略