Question

（本小题满分12分）如图四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。

（1）求证：平面；

（2）当E为PB中点时，求证：//平面PDA，//平面PDC。

（3）当且E为PB的中点时，求与平面所成的角的大小。

Answer

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB，

又平面AEC

∴平面.

（2）∵四边形ABCD是正方形，，在中，又

 //，又

//平面PDA，同理可证//平面PDC。

（3）∵，，又

所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则

D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），

从而，，，

设平面PBC的一个法向量为。由得

令z=1，得。设AE与平面PBC所成的角，则

与平面PBC所成的角的正弦值为。

【解析】略