Question

在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）在平面内是否存在一点，使得过点有无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)若直线的斜率不存在，则过点的直线为，此时圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，符合题意，所以直线为所求.                                             …………2分

若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，

所以圆心到直线的距离.        …………3分

又直线被圆截得的弦长为，圆的半径为4，所以圆心到直线的距离应为，即有

，解得：.                              …………4分

因此，所求直线的方程为或，

即或.                              …………5分

(2) 设点坐标为，直线的斜率为(不妨设，则的方程分别为：

即，

即.                …………6分

因为直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等，又已知圆的半径是圆的半径的倍.由垂径定理得：圆心到直线的距离的倍与直线的距离相等.                           …………7分

故有，                …………10分

化简得：，

即有或.

…………11分

由于关于的方程有无穷多解，所以有

或，                         …………12分

解之得：

或，                                     …………13分

所以所有满足条件的点坐标为或.  

【解析】略