Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer

解法一：

（Ⅰ）因为 ，所以.

又因为侧面底面，且侧面底面，

所以底面.

而底面，

所以.

在底面中，因为，，

所以 ， 所以.

    又因为，  所以平面.  ……………………………4分

（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，

证明如下：设的中点是，

连结，，，

则，且.

由已知，

所以. 又，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

    因为平面，平面，

所以平面.       ……………8分

（Ⅲ）设为中点，连结，

则 .

又因为平面平面，

所以 平面.

过作于，

连结，由三垂线定理可知.

所以是二面角的平面角.

设，则, .

在中，，所以.

所以 ，.

即二面角的余弦值为.         ………………………………13分

解法二：

因为 ，

所以.

又因为侧面底面，

且侧面底面，

所以 底面.[

又因为，

所以，，两两垂直.

分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.

设，则，，，，. 

（Ⅰ），，,

所以 ，，所以，.

又因为， 所以平面.   ………………………………4分

（Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.

     设平面的一个法向量是，则  

因为，，

所以    取，则.

所以， 所以.

因为平面，所以平面.    ………………………………8分

（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.

由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

所以.

即二面角的余弦值为.           ………………………………13分

【解析】略