Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆.

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；

（3）是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

19．（本小题满分14分）

【解析】
（1）由椭圆定义得，          …………………………… 1分

即，  ……………………… 2分

∴，又， ∴.             …………………………… 3分

故椭圆的方程为                      …………………………….4分

（2）圆心到轴距离，圆的半径，

若圆与轴有两个不同交点，则有，即，

化简得.                          …………………………… 6分

点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：

，解得：.           …………………………… 8分

又，∴ ，即点横坐标的取值范围是. ……9分

（3）存在定圆与圆恒相切，

其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4.     …………12分

∵由椭圆定义知，，即，

∴圆与圆恒内切.                           …………………………… 14分

【解析】略