Question

（14分）如图7,.已知圆O：和定点A(2,1)，

由圆O外一点向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足．(1) 求实数a、b间满足的等量关系；

(2) 求线段PQ长的最小值；(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．

Answer

理 【解析】
（1）连为切点，，由勾股定理有

.

又由已知，故.

即：.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：.  

（2）由，得.

=.

故当时，即线段PQ长的最小值为   

解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.

∴  | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.

∴  | PQ |min = = .                         

（3）设圆P 的半径为，

圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

即且.

而，

故当时，此时, ，.

得半径取最小值时圆P的方程为．     

解法2： 圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.

r = －1 = －1.

又  l’：x－2y = 0,

解方程组，得.即P0( ,).

∴  所求圆方程为.

【解析】略